Más de un millón de posibilidades, pero, ¿cuántas exactamente?

Más de un millón de posibilidades, pero, ¿cuántas exactamente?

la fotoHace más de 10 años que no me siento en una mesa a jugar una partida de dominó, y tocar una ficha, también los suyos. Pero antes siempre me preguntaba, ¿qué fichas me tocarán ?, ¿cogeré una buena mano? (aunque evidentemente nunca conseguí jugar tan bien como los lectores del presente blog, puesto que soy un simple aficionado y poco practicante del maravilloso juego que nos une). Supongo que ustedes como amantes de este deporte también se harán la misma pregunta, ¿de cuántas formas diferentes puedo levantar mis 7 fichas?. Por tanto, intentaremos de dar un poco de luz a esas posibilidades teniendo en cuenta las técnicas de recuento (aunque no entraré en muchos tecnicismos para justificar la fórmula empleada). Comentar que únicamente se indicará las formas distintas de coger 7 fichas de las 28 que se encuentran sobre la mesa y seguro que a más de uno le sorprenderá el resultado (recordaba los típicos comentarios de la infinidad de formas de coger la mano de 7 fichas, transmitiendo la idea que existen muchas, claro).

En ningún momento se realizará un estudio de cómo jugar esas 7 fichas puesto que dependerá del devenir de la partida. Para comenzar explicaremos que el concepto matemático utilizado se llama combinaciones ( combinaciones sin repetición para ser más exactos. El planteamiento varía si quisiéramos saber por ejemplo las formas diferentes de sacar dos monedas de nuestro bolsillo teniendo 3 monedas de 1 euro, 4 de 50 céntimos y 2 de 10 céntimos, en el caso de las fichas únicamente tenemos un cuatro-blanco, no se repiten las fichas como en el caso de las monedas ) y que introduciremos con un pequeño ejemplo para comprobar la veracidad del resultado obtenido. El ejemplo no sirve de demostración de la fórmula pero nos permite entender un poco el razonamiento seguido.

Supongamos que tras terminar la primera parte, el capitán del equipo decide introducir un cambio y para ello contamos con 5 jugadores suplentes. El problema se reduce a seleccionar dos jugadores entre los cinco posibles. La pregunta es:¿ cuántas formas diferentes tenemos de hacer la pareja para jugar en la segunda parte?. Para concretar un poco más pondremos nombres: Juan, Marcos , Lucía, Jorge y Antonio. Simplificando el problema: tenemos un grupo de 5 personas y queremos seleccionar a dos. En la formación de la pareja sería lo mismo Marcos y Jorge que Jorge y Marcos, resaltando que en las combinaciones no importa el orden de selección de los elementos( como en la lotería primitiva).

Pasaremos a realizar los cálculos a mano y escribiremos todas las posibilidades.

Juan con Marcos, Juan con lucía, Juan con Jorge, Juan con Antonio, Marcos con lucía, Marcos con Jorge, Marcos con Antonio, Lucía con Jorge, Lucía con Antonio, Jorge con Antonio.

Conclusión : tenemos 10 formas diferentes de seleccionar a la pareja.

La fórmula matemática que nos permite calcular dichas combinaciones sería C(5,2), es decir; de las 5 personas escogemos 2.

Veamos cómo se calcula esas C(5,2)

Primer paso: hacemos la resta 5-2=3.

Segundo paso: vamos multiplicando en orden descendente desde el 5 hasta la resta anterior (3), si utilizar el 3. Es decir: 5×4=20

Tercer paso: multiplicamos en orden descendente el otro número 2, hasta el 1, es decir: 2×1=2

Cuarto paso: dividimos los resultados 20:2=10

Recordamos que únicamente nos interesa saber las formas diferentes de coger 7 fichas y no qué 7 fichas.

En nuestro caso tenemos que seleccionar grupos de 7 fichas de las 28 disponibles, por lo tanto la fórmula matemática será C(28,7).

Primer paso: hacemos la resta 28-7=21.

Segundo paso: multiplicamos en orden descendente desde 28 hasta la resta anterior (21), sin utilizar el 21. Es decir: 28x27x26x25x24x23x22= 5967561600

Tercer paso: multiplicamos en orden descendente el otro número (7), es decir: 7x6x5x4x3x2x1= 5040

Cuarto paso: dividimos ambos resultados, 5967561600:5040= 1184040

Ese el el número exacto de formas diferentes de coger las 7 fichas entre las 28 que se encuentran sobre la mesa.

1.184.040

Espero que después de la lectura podamos hablar con total seguridad y dejar eso de la infinidad de formas de coger nuestras 7 fichas. (Tenemos algo más de 1 millón).

Artículo dedicado a mi padre (Francisco León, Icod de los Vinos, Tenerife).

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